I dessa tider av virusspridning kan det vara intressant att gå igenom vad en exponentiell funktion är då det är ett begrepp man brukar stöta på även när man pratar om bitcoin eller pengar rent allmänt.
Kortfattat så har vi en exponentiell ökning när förändringstakten i en serie är proportionell mot det nuvarande värdet, alltså när nästa värde är det nuvarande värdet multiplicerat med en faktor. I den första grafen nedan så ökar värdet med 2 hela tiden, oberoende av var på kurvan vi befinnner oss, men i den nedre så är ökningen relaterad till det nuvarande värdet. Vi får nästa värde genom att multiplicera det nuvarande värdet med två.
En linjärt ökande kurva skulle t.ex. kunna vara en graf som visar antalet luncher du ätit i år. Ett exempel på en exponentiell kurva skulle kunna vara en som visar saldot på ditt sparkonto (förutsatt att räntan är över 0). Även om det kanske inte känns som att dina besparingar ökar exponentiellt så fås ditt nya saldo hela tiden genom att multiplicera det existerande saldot med en faktor (räntan i det här fallet). Antalet luncher du kommer att äta imorgon (sannolikt 1) är inte beroende av hur många luncher du ätit hittills i år men nästa saldo på kontot beror i allra högsta grad på vad saldot är just nu.
Det är lätt att bli lite lurad av exponentiella kurvor bl.a. eftersom de ser ungefär likadana ut oberoende av hur du zoomar in eller ut. Nedan har vi utökat grafen med ytterligare 11 steg så att sista värdet är över 8 miljoner. Notera hur det övergripande utseendet av grafen är ungefär likadant och hur ökningen från 1 till 4096 nu ser helt odramatisk ut. Det är lätt gjort att titta på den här grafen och tänka att det var när värdet nådde några hundratusen som det verkligen "tog fart". Men vi vet att om vi istället väljer att titta på grafen ovanför så är känslan istället att det tog fart nånstans mellan hundra och tusen. Sanningen är att det inte tog fart någonstans utan att vi haft samma exponentiella tillväxt hela tiden.
Grafer med log-skala
Tittar du på valfri sajt som visar bitcoins växelkurs över tid så finns ofta ett alternativ att visa grafen med log-skala, eller logaritmisk skala. Det innebär att man låter avståndet mellan två linjer på den vertikala axeln vara en multipel av någonting. Alltså, i grafen med den exponentiella kurvan ovan där vi har en vanlig, linjär skala så är första linjen på värdet 1000, nästa på 2000 (1000 + 1000) och nästa på 3000 (2000 + 1000). Med en logaritmisk skala som nedan så är första linjen på 10, andra linjen på 100 (10 * 10) och tredje linjen på 1000 (100 * 10).
Nu blev vår exponentiella kurva plötsligt en rak linje! Inte så konstigt om man tänker efter eftersom vi tog principen om att nästa värde är en multipel av det tidigare och använde det även på axeln. Vi neutraliserade alltså den exponentiella utvecklingen (rent visuellt). Det här motverkar instinkten från tidigare om att hitta någonstans där det tar fart, här är det mer uppenbart att vi har samma typ av ökning hela tiden. Att visualisera en kurva på det här sättet kan vara smart om vi har anledning att tro att utvecklingen faktiskt är exponentiell. Får vi en helt rak linje så har vi just en exponentiell utveckling och det är mycket lättare se att linjen är rak i en graf med log-skala än att avgöra att den vanliga grafen visar en exponentiell utveckling.
För att förtydliga den här poängen, kolla in grafen nedan. Det där ser ju ut som en kurva som liknar vår första exponentiella kurva, ökningen ser ut att bli större och större för varje punkt som tillkommer. Men är ökningen exponentiell? Nope. Vi kan lätt se det genom att visa samma graf med en log-skala, det blir helt uppenbart att det inte ger oss en rak linje.
Grafen visar i själva verkar värdet x⁴, alltså x upphöjt till 4, eller x*x*x*x. Det värdet beror som vi ser inte på vårt tidigare värde i serien vilket som sagt är typiskt för exponentiella kurvor.
Det ökar jättesnabbt!
Med de tidigare exemplen i bagaget kan vi konstatera att exponentiell inte nödvändigtvis är samma sak som att något "ökar jättesnabbt", vilket tyvärr ofta är hur uttrycket används i vardagligt tal. Vår x⁴-kurva (som inte är exponentiell) nådde värdet 4096 på bara åtta steg, något som tog vår exponentiella kurva tretton steg att nå. Det är dock så att över tillräckligt lång tid så blir en exponentiell ökning alltid "dramatisk". Ett klassiskt tankeexperiment är Riskornen på schackbrädet:
Om på ett schackbrädes första ruta placeras ett riskorn, på nästa ruta 2 riskorn och därefter placeras en fördubbling av antalet för varje ruta, det vill säga på den tredje rutan placeras 4, på den fjärde 8 etcetera, hur många riskorn kommer att ligga på schackbrädet när riskorn lagts på samtliga 64 rutor?
Svaret blir 18 446 744 073 709 551 615 riskorn, alltså en totalt bisarr mängd riskorn (enligt uppgift runt 1000 gånger den årliga världsproduktionen). Läxan här är att man ska ha respekt för exponentiella ökningar då sättet de växer på är lätt att underskatta och inte helt intuitivt. Det här blir förstås mycket relevant när det gäller den aktuella frågan om spridning av ett virus. Med schackruteexperimentet i åtanke kan man tänka sig hur det snabbt det kan gå från känslan av att allt är lugnt till att en majoritet av befolkningen är smittad.
Rent praktiskt
Även om alla exponentiella ökningar i teorin och över tillräckligt lång tid blir dramatiska så kan nyansskillnaderna vara extremt viktiga i den verkliga världen. Nedan följer ett enkelt exempel där vi i den första grafen tänker oss att varje smittad person i snitt smittar 1 annan person medan vi i den andra grafen tänker oss att man bara smittar 0,5 personer (att det är 50% risk att man smittar någon). En smittöverföring sker var 5:e dag. Vi ser att i det första fallet så har 1 miljon människor blivit smittade efter 100 dagar medan vi i det andra fallet bara har drygt 3000 smittade. En ytterst relevant skillnad som visar på vilken effekt det kan ha att vidta åtgärder för att minska smittspridningen.
I verkligheten finns också begränsningar som gör att en en exponentiell tillväxt inte kan fortsätta i oändlighet. Om vi tänker oss ett land med 10 miljoner invånare så kan ju aldrig antalet smittade överstiga 10 miljoner. Man behöver därför modifiera sin formel för att ta hänsyn till att risken att smitta någon avtar ju fler som är smittade (eftersom du inte kan smitta någon som redan är smittad). Med en enkel sådan model där sannolikheten att smitta någon istället är 1 - (antal smittade / 10 000 000) så får vi istället något som kallas för en logistisk funktion och som ser ut såhär:
Detta är en mer realistisk bild av verkligheten om än fortfarande mycket förenklad. Notera att den första delen av kurvan fortfarande är en exponentiell funktion och att i just det här exemplet så förändras mängden smittade upp till den där miljonen inte nämnvärt.
Åter till Bitcoin!
OK, men du är troligtvis inte här för att läsa om virus utan om Bitcoin så låt oss återgå till den där log-knappen nu när vi vet vad en log-skala är för någonting. Att visa bitcoins växelkurs med en log-skala är alltså rimligt om vi tror att utvecklingen av den borde vara exponentiell. Så borde den det? Det tycks ju vara en rätt svår fråga eftersom vi inte ens vet att bitcoin kommer att öka i värde.
Utbud
Ett sätt att angripa frågan är att tänka sig att ingenting alls kommer att förändras gällande folks intresse för bitcoin kontra andra valutor, t.ex. svenska kronor. I termer av utbud och efterfrågan innebär det i så fall att efterfrågan inte förändras utan det bara kommer att vara utbudet av bitcoin samt utbudet av kronor som styr hur växelkursen förändras. Bitcoins utbud styrs av en förutbestämd formel vilket i nuläget innebär att det tillkommer 657 000 nya bitcoin per år, vilket innebär ett tillskott av ca 3,6% årligen. Efter halveringen i maj kommer denna siffra att ligga närmare 1,8% och över tid kommer den att minska till 0% och inga fler bitcoin skapas.
Utbudet av kronor styrs i princip över tid av Riksbankens inflationsmål, vilket är på 2% per år. Notera nu förresten att när något ökar med en procentsats per år så är det just en exponentiell ökning. Riksbankens uppdrag att "upprätthålla ett fast penningvärde" har alltså tolkats som att priserna ska öka exponentiellt. Rimligt? Återigen så är ju själva ökningsfaktorn i utvecklingen mycket relevant. Om priserna skulle öka med 1% över din livstid så kan man ju i all praktisk mening påstå penningvärdet är stabilt. Men när något ökar med 2% per år så innebär det att priserna under en livstid femdubblas. Din hundralapp blir alltså under en livstid i praktiken värd bara 20 kronor och huruvida det fortfarande kan anses vara ett "fast penningvärde" är ju mer tveksamt.
Nåväl, efter detta lilla sidospår om inflation kan vi alltså konstatera att om ett antal år, när knappt några nya bitcoin skapas men mängden kronor fortfarande ökas exponentiellt så bör alltså även bitcoins växelkurs gentemot kronan öka exponentiellt. Åtminstone i vår fantasivärld där efterfrågan inte förändras.
Efterfrågan
I realiteten förväntar vi oss förstås att även efterfrågan förändras, så på vilket sätt är det då troligt att efterfrågan utvecklas? Om vi tänker oss att 100 personer är intresserade av bitcoin vid ett givet tillfälle och att det 1 år senare blivit 1000 personer, är det då troligast att vi ytterligare ett år senare har 2000 intresserade personer eller 10 000 intresserade personer? Det verkar rimligt att anta att spridningen sker på liknande sätt som för ett virus där människor "smittar" varandra med idén. Vi kan också tänka att om ett visst antal människor redan har investerat i bitcoin och någon världshändelse gör att bitcoin blir mer attraktivt så kommer den efterföljande ökningen definitivt att vara kopplad till antalet existerande investerare, t.ex. genom 20% av dessa väljer att investera mer, att 10% av dem har en vän som bestämmer sig för att investera etc.
Allt detta tyder på att om bitcoin ökar i värde så kommer den ökningen att vara exponentiell och det är därför rimligt att använda en log-skala för att undersöka kursen. Här är grafer över bitcoins utveckling sedan 2012, först med linjär skala, sedan med log-skala.
Med log-skalan kan vi faktiskt se nyanserna kring vad som hänt, t.ex. vid uppgångarna under 2013, medan de med den linjära skalan knappt syns.
Avslutande kommentarer
Om du nu vill använda log-skalan och tror att bitcoins värde kommer att fortsätta öka så kan du alltså dra ett rakt streck snett uppåt och till höger för att gissa hur det kommer att se ut. Men när du tror att du kan förutspå framtiden på det sättet, kom ihåg följande:
- Vi har bara kommit fram till att om bitcoins värde ökar så bör det ske exponentiellt. Den stora frågan är fortfarande om. Och om det bara ökar p.g.a. det vi skrev om under "utbud" så ökar det gentemot fiat-valutors värde men inte nödvändigtvis i reella termer.
- Under "rent praktiskt" så lärde vis oss att i verkligheten så är dels ökningstakten mycket relevant och att det finns någon form av mättnad som gör att du inte kan fortsätta ditt streck i all oändlighet. Om 1 bitcoin är värd 10 dollar år 2011, 100 dollar år 2014, 1000 dollar år 2017 och 10 000 dollar år 2020 så kommer inte 1 bitcoin att vara värd 100 miljarder dollar år 2041. Att bara helt tanklöst extrapolera en kurva ger ofta absurda utfall. Låt oss därför avsluta med denna demonstration av detta från XKCD.
